当前量子计算的研究处于中等规模有噪声量子（noisy intermediate-scale quantum, NISQ）时代，拥有五十到数百个量子比特的量子计算机有望执行超越经典计算机的任务。但量子系统与环境的耦合会引入量子噪声，单个两比特的量子门约有1%的噪声率，这会限制能执行可靠量子运算的线路的规模，也会影响整个量子器件的计算能力和可靠性。

在当前的实验条件下，可控量子比特的数量不足以实现量子纠错。作为一种替代方案，近年来提出的量子误差缓解方法，可以通过重复实验和数据后处理来降低测量结果的误差。典型的误差缓解方案包括外插法、准概率分解法等等。以准概率分解法为例，人们首先使用量子门层析的方法获得量子噪声信道的表示，然后通过蒙特卡洛抽样模拟噪声信道的逆，进而消除测量结果中的误差。

由于上述方法需要逐个对量子门的噪声进行测量和刻画，因此只能处理局域的马尔可夫噪声信道。然而在真实的量子器件中，量子比特之间会有关联噪声，例如全局的退极化噪声或者相邻量子比特间的串扰噪声，这些噪声无法使用该方法消除。另一方面，在使用蒙特卡洛方法模拟噪声信道的逆时，消耗的计算资源及相应的实验资源都会随系统尺寸呈指数增长。

最近，杨硕课题组提出了一种基于张量网络表示的新型量子误差缓解方案。该方案使用矩阵乘积算符（matrix product operator, MPO）来表示量子线路和噪声信道，可以实现对各种量子噪声的精确刻画与消除，包括其他方案难以处理的具有长程空间关联和短程时间关联的误差，且复杂度随系统尺寸呈多项式增长。该方案包括如下几个步骤：先使用量子过程层析法将含噪声的量子线路用MPO表示，然后使用变分的方法求出该MPO的逆，进而将噪声信道的逆也用MPO表示，最后实验上可以设计相应的量子线路将原线路的误差消除。对于较深的量子线路，可以预先将其进行分块，在每一块上单独采用上述的方法。该方案的示意图如图1所示。

图1：基于矩阵乘积算符的量子误差缓解方案示意图。(a) 可以用MPO表示含噪声的量子线路。将噪声信道的逆应用在含噪声的线路之后可以补偿误差并恢复理想线路。(b) 使用变分的方法对MPO求逆。(c) 求出噪声信道的逆。(d) 对于较深的量子线路，先将其分为m个部分，然后对每个部分分别实施上述方案。

数值模拟的结果表明，该方案可以有效消除非局域的长程噪声，输出量子态中的误差率被抑制了约2.9倍，且该因子与系统的尺寸和线路的深度均无关，如图2所示。因此该方案对于更大的系统与更深的线路均具有良好的可延展性，可以在不消耗更多实验和计算资源的情况下提高误差缓解的性能、扩大其应用范围，将有助于提高中等规模有噪声量子计算机执行复杂量子算法的精度和可靠性。

图2：误差缓解后输出量子态与理想量子态的距离。(a) 固定系统尺寸Nq=20，距离随线路深度的变化。(b) 固定线路深度depth=20，距离随系统尺寸的变化。

该成果以“Quantum Error Mitigation via Matrix Product Operators”为题于2022年10月31日发表在PRX Quantum上。物理系本科生郭雨尘为本文的第一作者，物理系副教授杨硕为本文的通讯作者。该工作得到了国家自然科学基金、科技部重点研发计划、清华大学低维量子物理国家重点实验室、量子信息前沿科学中心、清华大学“笃实”专项的资助。

文章链接：https://journals.aps.org/prxquantum/abstract/10.1103/PRXQuantum.3.040313