哈密顿量决定了量子系统如何随时间演化，其中的系数对应模式频率、非线性强度以及不同自由度之间的耦合。通过受控演化和量子测量反推出这些系数，通常称为哈密顿量学习，是量子器件标定、量子模拟验证和精密测量的重要基础。在量子参数估计中，海森堡极限描述了量子力学允许的最优精度标度：当总演化时间为 T 时，估计误差可以按照 1/T缩小。对于由光场、微波谐振腔等构成的连续变量系统，位置、动量或光场正交分量可以连续取值，能否在这一类广泛应用于量子通信、量子计算和量子传感的一般连续变量系统中达到超越经典极限的海森堡极限，是衡量哈密顿量学习效率的核心问题。

与有限维量子比特系统相比，连续变量系统的希尔伯特空间是无限维的，相关算符通常无界；高阶非线性和多模式耦合还会放大系数恢复中的微小误差。若仅依靠重复测量取平均，达到给定精度所需的总演化时间通常与误差的平方成反比，即标准量子极限；利用量子相干控制，则有望改善到与误差成反比的海森堡极限。已有方案往往受限于特定低阶结构，或需要复杂实验资源；对于一般高阶、多模式哈密顿量，以及直接以位置和动量表示的物理参数，仍缺少兼具高精度、误差鲁棒性、实验友好性的统一方法。

最近，物理系罗迪课题组提出了面向一般高阶、多模式连续变量哈密顿量的位移-随机酉变换（Displacement-Random Unitary Transformation，D-RUT）学习方案，将实验可控的量子探测与结构化多项式恢复相结合，以海森堡极限标度恢复哈密顿量中的未知系数。其原理是先施加可控位移，把原哈密顿量中的未知系数“转移”到依赖位移参数β的常数项C(β)中；随后对随机相位旋转进行平均，滤去产生与湮灭算符数目不相等的非守恒项。变换后的真空态只积累由C(β)决定的相位，而C(β)本身恰好是由待测系数组成的多项式。研究组利用鲁棒相位估计读取C(β)，再通过切比雪夫插值和傅里叶反演恢复各阶系数，从而将无限维量子动力学辨识转化为有限维多项式恢复，并使总演化时间达到海森堡极限标度。

连续变量哈密顿量学习流程示意图。D-RUT将无限维动力学转化为标量多项式C(β)，再通过鲁棒相位估计、切比雪夫插值和傅里叶反演恢复哈密顿量系数。

对于多模式系统，课题组发展了分层恢复策略：先将其他模式的位移设为零，逐个分离单模式项，再把测量限制在相互作用簇上恢复耦合系数，从而减少无关模式造成的误差放大。理论分析表明，该策略优于在完整多维区域内同时恢复全部系数的方法。该方案还被推广到第一量子化表述，通过可调压缩变换和线性反演，直接恢复位置、动量多项式中的物理系数。研究组还建立了制备与测量误差下的误差传播界。数值模拟进一步在谐振子、非谐振子、Kerr振子和含交叉Kerr耦合的Bose-Hubbard二聚体中验证了预期的海森堡极限精度标度，并验证了含噪声位移下的稳定性。该工作为连续变量量子平台的标定、验证和性能评测提供了新的理论工具。

上左：含噪声位移下的系数恢复误差；上右：谐振子和非谐振子的第一量子化参数学习；下：Kerr振子和Bose-Hubbard二聚体的第二量子化系数学习。

该研究成果以“Continuous Variable Hamiltonian Learning at Heisenberg Limit via Displacement-Random Unitary Transformation”为题，被第43届国际机器学习大会（International Conference on Machine Learning，ICML 2026）接收。清华大学物理系、清华大学高等研究院罗迪副教授为该论文通讯作者，论文合作者还包括北京大学本科生黄曦、加州大学洛杉矶分校博士生张力行。

文章链接：https://icml.cc/virtual/2026/poster/61097