神经网络波函数是近年来快速发展的量子多体计算方法。通过将深度神经网络作为变分波函数，研究者可以更加灵活地描述强关联量子体系中的复杂多体关联。该方法已经在凝聚态物理、量子化学、量子信息以及高能物理等方向中展现出重要应用潜力。然而，随着神经网络波函数架构不断增多，一个基本问题也变得越来越重要：不同神经网络波函数究竟能够多好地表示不同类型的量子多体态？
目前，对神经网络波函数表示能力的评估通常依赖具体物理模型或具体任务，不同工作之间缺少统一的比较标准。特别是，对于具有复杂相位结构、强电子关联或空间局域化特征的量子态，神经网络波函数的表示难度如何随体系尺寸和网络结构变化，仍缺少系统性的理解。
最近，物理系罗迪课题组提出了一个用于评估神经网络波函数表示能力的基准数据集 WF-Bench。该数据集包含31个具有代表性的量子多体目标波函数，覆盖拓扑量子态、超导波函数和 Wigner 晶体三类重要体系。其中，拓扑态包括分数量子霍尔体系中的 Laughlin 态和 Moore-Read 态，超导部分包括具有不同配对对称性的 BCS 类型波函数，Wigner 晶体部分则描述了强相互作用下电子局域化形成的晶体态。
图 1：WF-Bench 的整体流程示意图。数据集包含拓扑态、超导态和 Wigner 晶体三类目标波函数，并通过波函数保真度统一评估神经网络波函数的表示能力。
在该工作中，物理系罗迪课题组以量子波函数保真度作为统一指标，比较神经网络波函数和目标波函数之间的接近程度。通过这一方式，不同神经网络架构可以在同一组目标波函数上进行公平比较。研究中进一步将该基准应用于 FermiNet 和 PsiFormer 两类典型神经网络波函数架构，系统分析了它们在不同目标态上的表现。
结果表明，神经网络波函数的表示能力随体系尺寸变化呈现出清晰的经验标度律。对于 WF-Bench 中的不同目标波函数，神经网络波函数与目标波函数之间的保真度可以近似写成F = 1-α (Ne - 2)β, 其中Ne为电子数，α 和 β 分别刻画表示误差的整体大小及其随体系尺寸增长的速度。这一结果说明，神经网络波函数的表示能力不仅可以通过单个体系上的误差来评价，也可以通过系统性的 benchmark 进行定量比较。进一步分析发现，不同物理态对应不同的尺度参数，反映出多体关联结构和相位结构对神经网络表示能力的影响。
图 2：不同代表性波函数的保真度随电子数的变化。结果显示，不同物理类别的目标波函数具有不同的表示难度，并表现出可拟合的经验尺度规律。
该研究表明，增加网络复杂度并不总是带来线性提升。当行列式数量或网络深度增加到一定程度后，波函数保真度的提升会逐渐趋于饱和。这一结果为实际计算中如何选择网络结构和分配计算资源提供了参考。同时，在相近参数量下，PsiFormer 在多数目标波函数上表现优于 FermiNet，显示出 self-attention 结构在描述复杂多电子关联方面的潜力。
该工作构建了一个面向神经网络波函数表示能力的统一基准平台。WF-Bench不仅可以用于比较已有神经网络波函数架构，也可以为未来新架构的设计和优化提供测试标准。更进一步，该研究为理解神经网络波函数的经验尺度律提供了一个起点，有助于推动神经网络量子态从具体应用走向更加系统的理论分析。
相关研究以“WF-Bench: A Benchmark for Neural Network WaveFunction Expressivity and Scaling Laws” 为题，被第43届国际机器学习大会 (International Conference on Machine Learning，ICML 2026) 接收。清华大学物理系、清华大学高等研究院罗迪副教授为该论文的通讯作者，论文合作者还包括加州大学洛杉矶分校博士生张力行，中国人民大学物理系博士生段桂靖。
文章链接：https://icml.cc/virtual/2026/poster/65980
