现代宇宙学观测表明，宇宙中物质的分布在大尺度上呈现出近似均匀和各向同性的特征。与此同时，这种近似均匀的分布中也包含不可忽略的密度涨落。在漫长的宇宙演化过程中，这种密度涨落经过万有引力和其他相互作用的共同影响，使物质结团成块，进而形成我们如今看到的恒星、星系等结构。包括星系在内的各种物质在宇宙大尺度上的分布，称为宇宙的大尺度结构。
宇宙的大尺度结构最初从何而来？目前的主流理论认为，答案来自宇宙甚早期发生的一段近指数的快速膨胀，称为宇宙暴涨。在这个快速膨胀阶段，时空自身的量子涨落被迅速放大，并在暴涨结束后转化为大尺度下的密度涨落。因此，对宇宙大尺度结构的观测，为我们提供了研究暴涨时空量子涨落的窗口。
宇宙暴涨过程携带巨大的能量，一般认为远高于地面高能对撞机实验的能标。如何利用宇宙暴涨探索极高能量基本物理过程，在近年来逐渐成为活跃的研究方向，称为“宇宙学对撞机物理”。
宇宙学对撞机物理的基本观测量是大尺度结构的关联函数，这类关联函数在暴涨理论中可被理解为暴涨时空的量子场论振幅。（下文将关联函数和振幅视作同义而混用。）暴涨宇宙在几何上近似于具有常曲率的德西特（de Sitter, dS）时空。因此，问题就转化为对dS时空量子场论振幅的研究。与平直时空和反德西特（AdS）时空相比，dS时空的量子场论振幅，特别是涉及交换重粒子过程的振幅，目前仍处于起步阶段，存在大量理论空白。
近年来，物理系鲜于中之副教授研究组在此前宇宙学对撞机研究的基础上，重点关注暴涨时空量子场论振幅解析性质的研究，提出和发展了几种新的解析技术，在dS关联函数的解析计算中取得了几类全新的结果。
在2022年10月发表于JHEP的论文[1]中，鲜于中之与博士研究生秦哲涵合作提出了部分梅林-巴恩斯表示（partial Mellin-Barnes representation）的新方法。在数学上，梅林-巴恩斯表示是梅林变换的逆变换，可将大量已知特殊函数及其组合表达为梅林变量复平面上的围道积分。在物理上，暴涨时空具有近似的尺度缩放（dilation）对称性，其本征模式即任意幂函数。梅林-巴恩斯表示可理解为将函数分解为尺度缩放本征模式的线性组合，如同平直时空中的傅立叶（Fourier）变换可看作将函数分解为时空平移本征模式（即平面波）的线性组合。
为了利用梅林变换简化积分的特性，同时保留暴涨关联函数取值在dS等时边界上的结构，文章[1]提出了部分梅林-巴恩斯表示，仅对dS时空内部（bulk）的模式作梅林-巴恩斯表示，而所有传播至dS时空边界的模式保持不变。在这种表示下，对许多特殊函数乘积的编时积分和动量圈积分都化简为初等函数的积分，而对梅林变量的围道积分可以通过分析被积函数的解析性质而完成。在部分梅林-巴恩斯表示中，被积函数的极点结构与暴涨关联函数的解析性质、从而与宇宙学关联函数中的观测量相互对应，具有明显的物理意义。
利用部分梅林-巴恩斯表示，文章[1]计算了任意质量标量和矢量粒子一圈图，首次得到了其中完整的非定域（nonlocal）宇宙学对撞机信号的解析式。利用这些结果，文章[1]进一步指出，圈图中宇宙学对撞机信号的相位（及其随动量比的演化） 蕴含了丰富的物理信息，包括重粒子的质量、自旋、相互作用形式等等。这些信息无法通过仅观测信号频率和角度分布予以确定。因此，观测宇宙学对撞机信号的相位，可极大地解除信号中物理信息的简并，提升宇宙学对撞机提取物理信息的能力，具有重要的现象学意义。
图1: 交换标量（上）和矢量（下）粒子的一圈图四点函数中的非局域宇宙学对撞机信号，交替的阴影显示了信号的相位。
以往研究显示，携带显著宇宙学对撞机信号的粒子物理模型通常会强烈破坏dS的特殊共形变换（special conformal transformation）对称性。由于对称性下降，相应场论振幅的计算难度大大提升。在近期发表于JHEP的论文[2]中，秦哲涵与鲜于中之进一步利用部分梅林-巴恩斯表示，计算了破坏特殊共形变换对称性的关联函数，首次得到了具有螺旋型化学势（helical chemical potential）的树图四点关联函数的完整解析结果。
与此同时，文章[2]还提出了一种改进的宇宙学bootstrap方法，将关联函数的编时积分转化为求解非齐次常微分方程问题。利用这种bootstrap方法，文章[2]对破坏特殊共形对称性的树图做了独立计算，同样得到了完整解析结果，与部分梅林-巴恩斯方法的结果完全吻合。这些研究显示，部分梅林-巴恩斯表示和改进的bootstrap方法都不依赖于暴涨背景的特殊共形对称性，具有更广阔的适用范围。此外，这些结果还从数学上证明了树图暴涨关联函数的切割规则（cutting rule），为理解dS场论振幅的解析性质提供了新的见解。利用这两种独立的方法，包含单个任意质量粒子的dS树图振幅的解析计算问题得到了完整的解决。【图2】
图2: 具有螺旋型化学势的矢量粒子产生的树图四点函数的完整结果，色阶代表振幅的数值大小，四幅子图显示了质量和化学势的不同取值对信号的影响。
近年的许多研究指出，通过一圈图交换重粒子的关联函数是宇宙学对撞机信号的重要来源。然而，在dS时空中，含有质量的圈图计算是极为困难的问题，长期未获解决。在近期发表于JHEP的论文[3]中，鲜于中之与博士研究生张洪语合作，利用欧式dS（Euclidean dS）时空的谱分解技术，完成了一大类dS时空振幅一圈图的解析计算，首次得到了包含任意质量标量场通过一圈过程产生的三点和四点关联函数的完整解析结果。
简言之，d+1维dS时空经过维克转动（Wick rotation）可解析延拓为欧式dS时空，即d+1维球面。以往研究利用球面上的d+1维球谐函数分析，获得了一圈图的谱分解，将圈图转化为对任意质量传播子的谱积分。在此基础上，文章[3]将球面上的谱分解延拓到dS时空，将dS时空的一圈图转化成树图的谱积分。利用此前工作的结果，文章[3]通过仔细研究被积式在质量谱复平面上的极点结构，解析地完成了谱积分，从而得到了dS一圈图四点和三点振幅的完整解析式。【图3】
图3: 通过谱分解计算dS一圈过程的费曼图。
以上工作以三篇长文形式发表在《高能物理杂志》（Journal of High Energy Physics），作者署名依高能物理惯例按姓氏字母排序。这些工作得到了科技部重点研发计划、国家自然科学基金委面上项目、教育部粒子天体物理与宇宙学重点实验室开放基金、清华大学启动经费的支持。
[1] Zhehan Qin, Zhong-Zhi Xianyu, “Phase Information in Cosmological Collider Signals,” JHEP 10 (2022) 192 [arXiv:2205.01692 [hep-th]]
[2] Zhehan Qin, Zhong-Zhi Xianyu, “Helical Inflation Correlators: Partial Mellin-Barnes and Bootstrap Equations,” JHEP 04 (2023) 059 [arXiv: 2208.13790 [hep-th]]
[3] Zhong-Zhi Xianyu, Hongyu Zhang, “Bootstrapping One-Loop Inflation Correlators with the Spectral Decomposition,” JHEP 04 (2023) 103 [arXiv: 2211.03810 [hep-th]]
